Слово трапеция употребляется в геометрии для обозначения четырехугольника, характеризующегося определенными качествами. Не считая того, оно имеет еще несколько значений. В архитектуре употребляется для обозначения симметричных дверей, окон и построек, построенных широкими у основания и сужающимися к верху (в египетском стиле). В спорте — это гимнастический снаряд, в моде — платьице, пальто либо другой вид одежки определенного кроя и фасона.

Само слово «трапеция» вышло от греческого, в переводе на российский язык значащего «столик» либо «стол, пища». В евклидовой геометрии так именуют выпуклый четырехугольник, имеющий одна пару обратных сторон, которые непременно параллельны друг дружке. Следует вспомнить несколько определений для того, чтоб отыскать площадь трапеции. Параллельные стороны этого многоугольника именуются основаниями, а две других — боковыми. Высотой трапеции является расстояние меж основаниями. Средней линией принято считать линию, соединяющую середины сторон боковых. Все эти понятия (основания, высота, средняя линия и боковые стороны) являются элементами многоугольника, являющегося личным случаем четырехугольника.

Потому правомочно утверждение, что площадь трапеции может быть найдена по формуле, созданной для четырехугольника: S = ½ • (a + b) • h. Тут S — это площадь, a и b — это нижнее и верхнее снования, h — это высота, опущенная из угла, прилегающего к верхнему основанию, перпендикулярно нижнему основанию. Другими словами S приравнивается половине произведения суммы оснований на высоту. К примеру, если основания трапеции — 6 и 2 мм, а ее высота — 15 мм, то ее площадь будет равна: S = ½ • (6 + 2) • 15 = 60 мм².

Используя известные характеристики этого четырехугольника, можно вычислить площадь трапеции. В одном из принципиальных утверждений говорится, что средняя линия (обозначим ее буковкой µ, а основания знаками a и b) приравнивается половине суммы оснований, которым она всегда параллельна. Другими словами µ = ½ (a + b). Таким макаром, подставляя в известную формулу вычисления S четырехугольника, среднюю линию, можно записать формулу для расчета в другом виде: S = µ • h. Для варианта, когда средняя линия — 25 см, а высота — 15 см, площадь трапеции приравнивается: S = 25 • 15 = 375 см².

Согласно известному свойству многоугольника с 2-мя параллельными сторонами, являющимися основанием, вписать окружность с радиусом r в нее можно при условии, что сумма оснований будет непременно приравниваться сумме ее боковых сторон. Если к тому же трапеция является равнобедренной (другими словами, равны меж собой ее боковые стороны: c = d), также известен угол при основании α, то можно отыскать, чему равна площадь трапеции по формуле: S = 4r²/sinα, а для личного варианта, когда α = 30°, S = 8r². К примеру, если угол при одном из оснований равен 30°, и вписана окружность с радиусом 5 дм, то площадь такового многоугольника будет приравниваться: S = 8 • 5² = 200 дм².

Можно также отыскать площадь трапеции, разбив ее на фигуры, вычислив площадь каждой и сложив эти значения. Это лучше разглядеть для 3-х вероятных вариантов:

1. Боковые стороны и углы при основании равны. В данном случае трапецию принято именовать равнобедренной.
2. Если одна боковая сторона образует прямые углы с основаниями, другими словами перпендикулярна им, то такая трапеция будет называться прямоугольной.
3. Четырехугольник, у которого параллельны две стороны. В данном случае параллелограмм может быть рассмотрен, как личный случай.

Для равнобедренной трапеции площадь складывается из суммы 2-ух схожих площадей прямоугольных треугольников S1 = S2 (высота их равна высоте трапеции h, а основания треугольников половине разности оснований трапеции ½ [a — b]) и площади прямоугольника S3 (одна сторона его равна верхнему основанию b, а другая — высоте h). Из чего следует, что площадь трапеции S = S1 + S2 + S3 = ¼ (a – b) • h + ¼ (a – b) • h + (b • h) = ½ (a – b) • h + (b • h). Для прямоугольной трапеции площадь складывается из суммы площадей треугольника и четырехугольника: S = S1 + S3 = ½ (a – b) • h + (b • h).

Криволинейная трапеция в данной статье не рассматривалась, площадь трапеции в данном случае вычисляют при помощи интегралов.